Sång blir hastighet

Bakgrund

Jag vet inte riktigt var inspirationen till denna lektion kommer ifrån, men i den här lektionen ska vi använda vår röst för att mäta hastigheten på en Formel 1-bil.

Material

• Dator, mobiltelefon (spela upp youtube-filmer)
• Keyboard, piano (för att ta reda på vilken ton du sjunger)

Beskrivning

Till att börja med pratar vi om hur ljudet från till exempel en brandbil eller polisbil låter olika när den kommer mot oss och sedan åker iväg. Använd detta för att introducera ljudvågens våglängd och frekvens och hur de ändras när källan rör sig.

Ljudvågorna för en ljus respektive mörk ton har olika våglängder och frekvenser, och när källan rör sig mot oss komprimeras vågorna och frekvensen ökar, vilket gör att tonen låter högre. När källan rör sig bort från oss sträcks vågorna ut och frekvensen minskar, vilket gör att tonen låter lägre. Här brukar jag även introducera formeln för dopplereffekten¹:

$$f' = f \cdot \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

I ett specialfall där källan rör sig med konstant hastighet och vi själva står stilla, och där vi kan höra ljudet både när den kommer mot oss och när den åker iväg, får vi två ekvationer med två obekanta. Då kan vi skriva hastigheten som:

$$v_s = v \cdot \frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$$

(där $v$ är ljudets hastighet, $f_1$ är frekvensen när källan närmar sig och $f_2$ är frekvensen när källan avlägsnar sig)

Nu visar det sig att just Formel 1-bilens motorljud ligger i det frekvensomfång som vi kan härma med vår röst. Genom att lyssna på en film där en Formel 1-bil åker förbi och försöka härma ljudet kan vi mäta frekvensen både när den kommer mot oss och när den åker iväg. Sedan kan vi använda formeln ovan för att räkna ut hastigheten på bilen.

En enkel instruktion är:

1. Lyssna och härma ljudet av motorn (mot eller från dig).
   • https://www.youtube.com/watch?v=JKQMt01rKiQ
   • https://www.youtube.com/watch?v=hpvuu5MfaSk
2. Fortsätt sjunga tonen och gå till en keyboard och hitta tonen du sjunger.
3. Titta i tabellen nedan och hitta frekvensen för den tonen du sjunger.
4. Använd formeln för dopplereffekten för att räkna ut hastigheten på bilen.

Ton	Frekvens (Hz)
C4	261,63
C#4/Db4	277,18
D4	293,66
D#4/Eb4	311,13
E4	329,63
F4	349,23
F#4/Gb4	369,99
G4	392,00
G#4/Ab4	415,30
A4	440,00
A#4/Bb4	466,16
B4	493,88
C5	523,25

Teori

Den allmänna formeln för dopplereffekten är:

$$f' = f \cdot \frac{v + v_o}{v - v_s}$$

Där:

• $f'$ är den observerade frekvensen
• $f$ är den sanna frekvensen av källan
• $v$ är ljudets hastighet (ca 343 m/s i luft vid rumstemperatur)
• $v_o$ är observatörens hastighet (positiv om observatören rör sig mot källan, negativ om observatören rör sig bort från källan)
• $v_s$ är källans hastighet (positiv om källan rör sig mot observatören, negativ om källan rör sig bort från observatören)

I det specialfall där observatören står still ($v_o = 0$) och källan rör sig med konstant hastighet, så kan vi skriva:

När källan närmar sig:

$$f_1 = f \cdot \frac{v}{v - v_s}$$

När källan avlägsnar sig:

$$f_2 = f \cdot \frac{v}{v + v_s}$$

Där $v$ är ljudets hastighet och $v_s$ är källans hastighet.

Genom att dela den första ekvationen med den andra får vi:

$$\frac{f_1}{f_2} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$$

Lös ut $v_s$:

$$f_1(v - v_s) = f_2(v + v_s)$$ $$f_1 v - f_1 v_s = f_2 v + f_2 v_s$$ $$f_1 v - f_2 v = f_1 v_s + f_2 v_s$$ $$v(f_1 - f_2) = v_s(f_1 + f_2)$$ $$v_s = v \cdot \frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$$

Kommentarer

Det är lite lurigt att hitta bra filmer men ljud som går att härma. Öva på att repetera ett visst avsnitt av filmen och att hålla kvar ljudet med rösten. Ibland är det lättare att hitta intervallet och låta som en polisbil.

---

Referenser

Footnotes

1. Doppler effekten ↩