Pendelns samband

Bakgrund

Här använder vi phyphox och en av de färdiga lektioner som finns på appens hemsida¹. Lyckades dessutom få en koppling till några mattespel jag hittat på nätet.

Material

• Mobiltelefon med Phyphox installerat
• Hushålls- eller toapappersrulle
• Snöre
• Gummiband
• Något att hänga pendeln i, t.ex. en rundstav.

Beskrivning

Jag gjorde så att jag tittade på filmen själv och visade eleverna hur de skulle göra. Sen använder jag delar av filmen för att visa vissa moment.

Experimentet

1. Visa en enkel pendel med ett snöre och en vikt. Det finns flera exempel på nätet som funkar som demonstration. Sök t.ex. på “pendulum experiment” och välj “Short Videos” i sökfiltret (Google). Introducera begreppet period, dvs den tid det tar för pendeln att komma tillbaka till utgångsläget.

2. Bekanta er med “Pendulum” i phyphox. Vi skall bara använda den enkla delen som heter “Results” eftersom vi själva vill räkna på sambanden som finns i de andra delarna av appen.

   

3. Tillverka vaggan av en hushålls- eller toapappersrulle och ett långt snöre, instruktionen finns här. Mina elever pratade mycket om vilka knoper som fungerade bäst för att kunna korta av snöret.

4. Häng upp vaggan på rundstaven och testa att den fungerar. Glöm inte att säkra mobilen med gummibandet!

5. Starta en mätning med “Timed run” som du hittar genom att trycka på de tre punkterna i hörnet på appen. Jag brukar låta standard värdena vara kvar (10 s mätning som starter efter 3s). Aktivera ljuden så att eleverna hör när mätningen startar och slutar.

   

6. Gör flera mätningar med olika längd på pendeln. Bra diskussionsämne när det gäller antal mätningar per längd och hur många längder man behöver. En del av eleverna gjorde egna mätningar hemma som de delade på phyphox.

Analys

I det här avsnittet fokuserar jag mest på vad vi gör. Matematiken hittar du i teoriavsnittet lite längre ned på sidan.

Mata in värdena i Desmos som en tabell (alla mätvärden). Ofta har eleverna bara jobbat med linjära samband och det går att anpassa en rät linje till mätpunkterna, men det ser inte bra ut..

Nu brukar jag prata om matematiska funktioner och hur de ser ut. Jag visar, i tur och ordning, linjära funktioner med positiv och negativ lutning, 1/x, x^2 och till slut sqrt(x). Det brukar inte vara svårt att se att det sista sambandet är det som ser mest rätt ut. Vi omvandlar perioden (eller längden) för att passa det samband vi gissar på och gör en ny anpassning med minsta kvadratmetoden.

Den nya linjen brukar passa in fint på mätpunkterna. Dags att skriva pendelformeln och visa vad som är konstant (det skiljer sig lite beroende på hur du gjort omvandlingen).

Spel

En lyckad avslutning är att spela de funktionsspel som jag nämnt i ett blogginlägg tidigare. De vi använt är:

• Fånga stjärnor med fallande bollar (allt från räta linjer till parabler)²
• SuperMario (mest andragradsfunktioner)³

TIPS: Om du vill begränsa längden på en funktion så kan du ange det i Desmos:

$$y=6x+2\left\{2<x<3\right\}$$

Ritar en rät linje mellan 2 och 3 på x-axeln Andra varianter är också möjliga: $\left\{2\le x<3\right\}$ $\left\{x<3\right\}$ $\left\{2<x\right\}$

Teori

Hela experimentet kretsar kring pendelformeln:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

T = perioden (s) L = pendelns längd (m) g = tyngdaccelerationen (9,81 m/s^2)

Vi har använt x för pendelns längd och y för perioden i Desmos, mest för att det blir enklare när man plottar i en graf med x- och y-axel.

Sambandet som eleverna ser i sin graf är:

$$y = a \sqrt{x}$$

där

$$a = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$$

En anpassning av en rät linje med Desmos variabelnamn (sätt automatiskt till x_1 och y_1)

y_1 ~ a*x_1 + b

visar två saker: punkterna ligger inte på en rät linje och b går inte genom origo, vilket den borde göra (en pendel utan längd har ingen period). För att tvinga linjen att gå igenom origo använder vi istället:

y_1 ~ a*x_1

Men det blir fortfarande inte en bra anpassning, r ligger ganska långt från 1.

För att testa antagandet att $T$ är proportionell mot $\sqrt{L}$ så finns det två alternativ:

1. Använd y_1 ~ a*sqrt(x_1). Linjen blir inte rät men den följer mätpunkterna mycket bättre och r ligger nära 1.
2. Kvaderar alla y-värden. Det gör du genom att skapa en ny variabel (egentligen en array) y_2 = y_1^2. Skapa en ny kolumn i tabellen med mätvärden och sätt titeln till y_2 och anpassa en rät linje till den nya variabeln: y_2 ~ a*x_1. Den nya linjen följer y_2-värdena mycket bättre och r ligger nära 1.

Vilken metod som man väljer spelar mindre roll, bäst brukar vara att använda den som någon elev kommer på själv.

Beräkna tyngdaccelerationen

Har man tid över så går det att beräkna tyngdaccelerationen med hjälp av den anpassade linjen. Beroende på vilket alternativ ni använt blir g:

1. $g = \frac{4\pi^2}{a^2}$ (anpassning med $\sqrt{x\_1}$)
2. $g = \frac{4\pi^2}{a}$ (anpassning med $T^2$)

Kommentarer

Ett sätt att bygga ut labben är att experimentera med knopar för att få en vagga som kan kortas av eller förlängas. Kanske nästa gång…

---

Referenser

Referenser

1. Phyphox - Pendulum ↩

2. Fånga stjärnor med fallande bollar ↩

3. SuperMario funktionsspel ↩