Beräkna Bollens Starthöjd

Bakgrund

Bra labb att göra efter att eleverna mätt ljudets hastighet med hjälp av phyphox appen¹.

Material

• Mobiltelefon med phyphox installerad
• Boll som studsar med ett tydligt ljud (t.ex. fotboll eller basketboll)

Beskrivning

En bra inledning brukar vara att studsa bollen och prata om varför den studsar och varför höjden blir lägre och lägre.

Hur många studsar kan man få ut av en boll och var tar energin vägen?\

Bra koncept att introducera är: energiövergångar, energiförluster och verkningsgrad.
Titta på filmen¹ (på engelska) och låt sedan eleverna göra mätningarna med phyphox appen: Inelastic collision om ni vill ha höjden beräknad med en gång. En mer utmanande variant är att använda Acoustic stopwatch och beräkna höjden själv.\

Många av mina elever gillar även matematik och vi brukar göra härledningarna tillsammans. Bra övning i algebra!
Jag har med hela härledningen i teoriavsnittet men här kommer sambanden från filmen:

Höjden mellan två studsar:

$$h = \frac{1}{2}g\left(\frac{\Delta t}{2}\right)^2 \tag{1}$$

Läs av eller beräkna de två första höjderna. Lägesenergin är proportionell mot höjden, dvs

$$\frac{E_1}{E_2}=\frac{h_1}{h_2}$$

Om vi förenklar och säger att förhållandet (förlusten av energi) är densamma i varje studs så kan vi beräkna den ursprungliga höjden $h_0$.

$$\frac{h_0}{h_1} = \frac{E_0}{E_1} \approx \frac{E_1}{E_2}$$ $$h_0 = h_1\frac{E_1}{E_2}$$

Teori

Här kommer en lite längre förklaring av sambandet (1) för höjden mellan två studsar som visas i filmen.

Steg 1

Vi börjar med att titta på en hel parabel, från en studs till nästa. Eftersom rörelsen är symmetrisk (lika lång tid upp som ner) når bollen maximalhöjd ($t_{\text{max}}$) vid tiden mellan två registrerade tider. För en hel parabel där vi vet start och sluttid är:

$${\Delta t} = t_{\text{andra studs}} - t_{\text{första studs}}$$ $$t_{\text{max}} = \textcolor{dodgerblue}{\frac{\Delta t}{2}} \tag{2}$$

Steg 2

En hastighet som ändras kan beskrivas med formeln: $v = v_0 - gt$

Vid $t_{\text{max}}$ är hastigheten noll, dvs:

$$0 = v_0 - g \cdot \frac{\Delta t}{2}$$ $$v_0 = \textcolor{crimson}{g \cdot \frac{\Delta t}{2}} \tag{3}$$

Steg 3

Vi utgår från sambandet: $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

Vid högsta punkten på en parabel är $s = h$ och $a = g$. Tecknet på accelerationstermen byts eftersom bollen bromsas på väg upp.

$$h = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$$

Men $t = t_{\text{max}}$ och vi substituerar med hjälp av (2):

$$h = v_0 \cdot \textcolor{dodgerblue}{\frac{\Delta t}{2}} - \frac{1}{2}g\left(\textcolor{dodgerblue}{\frac{\Delta t}{2}}\right)^2$$

Sätt in $v_0 = g \cdot \frac{\Delta t}{2}$ från (3):

$$h = \textcolor{crimson}{g \cdot \frac{\Delta t}{2}} \cdot \textcolor{dodgerblue}{\frac{\Delta t}{2}} - \frac{1}{2}g\left(\textcolor{dodgerblue}{\frac{\Delta t}{2}}\right)^2$$ $$h = g\left(\frac{\Delta t}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}g\left(\frac{\Delta t}{2}\right)^2$$ $$h = \frac{1}{2}g\left(\frac{\Delta t}{2}\right)^2$$

Kommentarer

Finns det tid så kan man undersöka om det verkligen stämmer att förlusten är lika stor vid varje studs. Eller varför inte leta upp en ljusgård eller annat ställe där man kan släppa bollen från riktigt stor höjd?

Referenser

Footnotes

1. Phyphox - Inelastic Collision ↩ ↩²