Barbie Bungy

Bakgrund

En labb som jag upptäckte under min VFU. Det är en helt fantastisk labb där eleverna får ett bra resultat om de bara är noggranna. Uppgiften är enkel, Barbie och Ken vill hoppa bungee-jump och ett riktigt bra sätt är att missa marken med en hårsmån.

Material

• Barbie-docka, eller likanande. Gärna Ken :-)
• Gummiband (samma sort och längd)
• Tumstock eller måttband
• Häftmassa
• Rutat papper, gärna millimeterpapper

Beskrivning

1. Sätt fast tumstocken mot väggen med häftmassa. Tumstocken skall vara helt utfälld (2 meter)

2. Ta två gummiband och sätt ihop dem med en löpögla.

   

3. Surra det ena gummibandet kring Barbie/Kens fötter

   

4. Sätt dit ett gummiband till med en ny löpögla

   

5. Håll änden av gummibanden (gummibandet du satte dit sist) vid toppen av tumstocken. Fötterna på dockan håller du på samma plats.

6. Släpp dockan och mät hur långt ned huvudet kommer. För ett bättre resultat släpper du flera gånger och tar medelvärdet.

7. Skriv i tabellen hur långt dockan kom.

8. Sätt dit två gummiband till och gör om försöket där ni släpper dockan. Det är viktigt att ni håller dockan och gummibandet på samma plats varje gång.

9. Fortsätt lägga till två gummiband i taget och mät.

Gör en tabell där ni skriver in antal gummiband och hur långt ned dockan kom. Rita en graf där ni visar sambandet mellan antal gummiband och hur långt ned dockan kom. Se till att ha extra plats på både x- och y-axeln för att senare kunna extrapolera till önskad hopplängd.

Läs av hur många gummiband som behövs för att komma så nära marken som möjligt i ert stora hopp. Barbie/Ken vill inte slå i huvudet!

Teori

När eleverna ritar in sina värden i en tabell så brukar det bli ett snyggt linjärt samband där linjen skär y-axeln på samma höjd som dockans längd. Lite längre ned finns en matematisk förklaring till varför sambandet är linjärt.

Viktiga koncept som vi brukar prata om är hur man anpassar en rät linje till mätpunkter i ett diagram, framförallt när alla punkter inte hamnar på linjen. När de ritar så får de använda ögonmått och se till att det är lika många punkter över och under linjen samt att det totala avståndet är ungefär detsamma. När de sen ska extrapolera så blir det eventuella fel de gjort när de ritat mycket större med hävstångseffekten.

För att minska riskan att Barbies huvud går sönder så kan man istället använda minsta kvadratmetoden och ett digitalt verktyg. Det finns många sidor som illustrerar vad man menar med minsta kvadratmetoden, t.ex. på Geogebra¹. Det går att nörda ned sig så mycket man vill…

När vi ska prova så brukar jag låta eleverna använda Desmos² istället för Geogebra, mest för att webbsidan ser enklare ut. Gör en tabell med alla värden och låt sen Desmos göra anpassningen med kommandot:

$$y_{1}\sim mx_{1}+b$$

Vill man inte göra tabellen och skriva kommandot själv så finns allt paketerat på Desmos³.

Fördjupning - det linjära sambandet

Eleverna ritar upp sina mätpunkter och ser att sambandet är linjärt. Men varför? Min egen magkänsla säger att förlängningen beror på Hookes lag $F = k \cdot x$ som är linjär. Den genvägen använder jag när jag förklarar. Men jag gjorde en liten övning för att bevisa sambandet och det visar sig blir lite mer komplicerat när man går från magkänsla till att räkna. Rekommenderar att inte ta allt med eleverna.

Den räta linjen

Räta linjens ekvation är $y = kx + m$. I vårt fall är $y$ fallhöjden $d$ och $x$ antalet gummiband $n$, så vi skriver

$d = a \cdot n + b \qquad (1)$

(där $a$ och $b$ ersätter $k$ och $m$, eftersom de variablerna snart kommer att betyda något annat). Lutningen $a$ och y-skärningen $b$ är vad vi vill bestämma.

Vi börjar med att dela upp fallhöjden $d$ i tre fysiska delar. Från fästpunkten ned till dockans huvud i lägsta läget består sträckan av kedjans naturliga längd($L_0$), gummibandens sträckning vid lägsta läget ($e$), och dockans höjd ($h$):

$d = nL_0 + e + h \qquad (2)$

Av de tre termerna är $nL_0$ redan proportionell mot $n$, och $h$ är konstant. För att (2) ska gå att skriva på formen (1) räcker det alltså med att visa att även $e$ är proportionell mot $n$.

Fjäderkonstanten för en kedja av gummiband

För att räkna på sträckningen $e$ behöver vi veta hur styv kedjan är. Ett gummiband följer (approximativt) Hookes lag,

$F = k \cdot x$

där $k$ är fjäderkonstanten och $x$ sträckningen. När vi hänger dockan i en kedja av $n$ band drar tyngdkraften i hela kedjan med samma kraft $F$ — kraften “transporteras” oförändrad från band till band. Varje enskilt band sträcks då $F/k$, och totalt:

$x_{\text{tot}} = \frac{nF}{k}$

Vill vi skriva det här på samma form som Hookes lag löser vi ut $F$:

$F = \frac{k}{n} \cdot x_{\text{tot}}$

Hela kedjan beter sig alltså som ett gummiband med en effektiv fjäderkonstant

$k_{\text{eff}} = \frac{k}{n} \qquad (3)$

Energiprincipen ger sträckningen

För att hitta $e$ använder vi energiprincipen: den lägesenergi dockan tappar omvandlas till elastisk energi i banden.

Förlorad lägesenergi. När dockan släpps är gummibanden slacka. Hon faller fritt tills kedjan blivit rak — när fötterna är $nL_0$ under fästpunkten — och fortsätter sedan tills banden bromsat henne till stillastående i lägsta läget. Totalt har fötterna då fallit sträckan $nL_0 + e$, så den förlorade lägesenergin är $mg(nL_0 + e)$.

Lagrad elastisk energi. När gummibandet sträcks från $0$ till $e$ ökar kraften linjärt från $0$ till $k_{\text{eff}} \cdot e$ (Hookes lag). Arbetet vi utför mot bandet är medelkraften gånger sträckan:

$W = \bar{F} \cdot e = \frac{0 + k_{\text{eff}} \cdot e}{2} \cdot e = \frac{k_{\text{eff}} \cdot e^2}{2}$

och det är den energin som finns lagrad i bandet vid lägsta läget.

Sätt ihop dem. Energiprincipen säger att förlorad lägesenergi = lagrad elastisk energi:

$mg(nL_0 + e) = \frac{k_{\text{eff}} \cdot e^2}{2}$

Sätt in $k_{\text{eff}}$ från (3):

$mg(nL_0 + e) = \frac{k e^2}{2n} \qquad (4)$

Sträckningen är proportionell mot antalet band

Nu löser vi ut $e$ ur (4). Multiplicera båda led med $2n$ och ordna om till en andragradsekvation i $e$:

$k e^2 - 2mgn \cdot e - 2mgn^2 L_0 = 0$

Andragradsformeln, med positiv rot eftersom $e > 0$:

$e = \frac{2mgn + \sqrt{(2mgn)^2 + 8kmgn^2 L_0}}{2k}$

Lägg märke till att alla termer inuti kvadratroten innehåller $n^2$, så vi kan bryta ut $n$:

$\sqrt{4m^2g^2 n^2 + 8kmg L_0 \cdot n^2} = n\sqrt{4m^2g^2 + 8kmg L_0} = 2n\sqrt{(mg)^2 + 2kmg L_0}$

Sätter vi in detta får vi $n$ som gemensam faktor i täljaren:

$e = \frac{2mgn + 2n\sqrt{(mg)^2 + 2kmg L_0}}{2k} = n \cdot \underbrace{\frac{mg + \sqrt{(mg)^2 + 2kmg L_0}}{k}}_{= \, c}$

Sträckningen är alltså

$e = n \cdot c \qquad (5)$

där proportionalitetskonstanten $c$ bara beror av gummibandens längd och styvhet samt dockans massa — inte av $n$. Det är precis det vi ville visa.

Tillbaka till räta linjens ekvation

Sätt in (5) i (2):

$d = nL_0 + nc + h = n(L_0 + c) + h$

Jämför med (1):

$d = \underbrace{(L_0 + c)}_{a} \cdot n + \underbrace{h}_{b}$

Lutningen $a = L_0 + c$ bestäms av gummibandens längd och styvhet samt dockans massa, och y-skärningen $b$ är dockans höjd.

Kommentarer

Se till att ha elever som tittar vid marken när dockan hoppar, det är riktigt imponerande att se hur bra labben fungerar. Med en bra mobilkamera kan man även filma i slow motion och se hur nära marken dockan kommer. Vi brukar behöva 2 timmar för att utföra experimentet, rita grafen och prata om linjär regression.

---

Referenser

Referenser

1. Geogebra - Minsta kvadratmetoden ↩

2. Desmos ↩

3. Exempel på graf ↩